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世にも美しき数学者たちの日常

2021.05.10 更新 ツイート

数学なのにグニャンとやっていい!?先入観がガラガラと崩れた、阿原一志先生との出会い。 二宮敦人

天才的頭脳をもつ彼らの日常は、凡人と以下に違うのか?

知的で、深くて、愉快で、面白い!と話題になった世にも美しき数学者たちの日常の文庫化を記念して、本文を公開!

第六回目は、3Dプリンターのある研究室を持つ阿原一志先生。なぜ3Dプリンターがあるのか!?

*  *  *

『数学とはこれである』と線引きをしてはいけないんじゃないか
阿原一志先生(明治大学教授)

幾何学模様のポスター。

蝶だろうか、それとも植物の葉だろうか。小さな模様が無数に集まり、鮮やかな色のグラデーションが施され、渦巻きに似た巨大な模様を作り上げている。美術館にあってもおかしくなさそうだ。

「それは学生が作ったフラクタルの図形ですね」

さて、今度は棚に変なものが無数に転がっている。オレンジ、緑、ピンク、青、赤……でこぼこ、ごつごつ、まるでブロッコリーやウニのような形をしていて、持つとそこそこ重い。

インテリアとしてはやや奇妙だし、かといって他に使い道も思い当たらない。ただ、眺めていると妙に興味深い。

「それも学生が作った立体ですね。3Dプリンターで出力しています」

ここには、見て、触れるものがたくさんある。レゴブロックもあれば組木細工もあるし、ボードゲームも、流行りの漫画もある。後半はただの趣味なのかもしれないが、とにかく数学の研究室とは思えないくらい何だか楽しそうな雰囲気だ。

それがここ、明治大学総合数理学部、阿原研究室である。

(写真:iStock.com/kynny

グニャンとやっていい数学

幾何学と聞いて、どんなものをイメージするだろう。正三角形の作図だとか、ここの角度が何度だとか、三角定規とコンパスでいろいろとやったような気もするのだが。

見上げるほど背の高い阿原一志先生だが、柔らかな物腰で教えてくれた。

「それは古典幾何や、初等幾何という分野ですね。そういうのはもう、研究の俎上(そじょう)にほぼ載らないんです」

数学の分野は広く、様々な専門家が存在する。ざっくり言えば代数、幾何、解析の三つの分野に分けられるようだ。さらにその幾何の世界も細分化できるのだと阿原先生は言う。「今、専門で幾何というと、大きく三つあります。代数幾何、微分幾何、位相幾何ですね」

これである。

せっかく先ほど代数、幾何、解析の三つに分けたのに、代数幾何とかいう一体どっちなんじゃと言いたくなる分野が出てきて、台無しにしていく。数学の分野は互いに関連していて、しかしそれぞれ特色もあり、その位置関係を捉えるのは難しい。

「代数幾何というのは、代数式で表される図形の性質を調べるというものです。でも代数幾何を勉強したいんだったら、普通は幾何ではなく代数に進みますね。それから微分幾何というのは曲線や曲面の形を考えていきます。どんな形の曲面がありうるか、というところから始まった学問です。今はもっと次元を一般化したりして、難しくなっていますけど。最後の位相幾何ですが、トポロジーという言葉を聞いたことはありますか。僕が選んだのはこの分野です」

トポロジー?

聞き慣れない用語や、難しい漢字が並びすぎた。ぽかんと口を開いたままの袖山さんと僕を安心させるかのように、阿原先生はそっとホワイトボードを取り出した。

「学部の一年生とよくやるパズルを紹介しますので、それでトポロジーに入門していただこうかなと。文系の方でもわかるものなので、ご安心を……さて、これから線でできた図形を考えていきます。そして一番根幹となる概念として、『同相』というものを覚えていただきます。ルールはたった二つだけ」

阿原先生はさっさっとペンを走らせる。

「一つ目。線の向きとか長さ、それから折れ、曲がり、これらは全て無視します。だから向きが違っても区別しない。短いとか長いとか区別しない。折れていても曲がっていてもまっすぐでも、区別しない」

ホワイトボードには短い直線、長い直線、ギザギザの線、ふにゃふにゃ曲がった線が描かれた。

「つまり、これらの線は全て同じものとして考えるんです」

ほう、と袖山さんが瞬きする。

「ルール、二つ目。線と線の繋がり具合とでも言えばいいかな……交差点や輪があるとしましょう。これは全て、無視しない。ちゃんと問題にする」

今度は十字やT字、二本の平行線、それから丸い輪っかなどが描かれた。

「これらは全て別のもの、ということです。繋がり具合が違いますからね」

気にするところと、気にしないところを決めて、形を捉えていくのが位相幾何学のようだ。

「この二つのルールで、同じと言えるものを同相と呼びます。具体例を出してみましょう。

平仮名で言えば、『く』と『し』は同相になります。他にもこれと同相の平仮名があるんですが、わかりますか」

むむむ。つまり線一本で構成されている文字ということか。僕と袖山さんは、それぞれに頭をひねった。

「『へ』とか」

「ええ、正解です」

「『つ』は?」

「はい、そうですね」

この二つまではすぐにたどり着けたが、そこからは少し時間がかかった。

「『ん』『ろ』『ひ』『て』『そ』。結構ありましたね……」

これだけの数の文字を「同じもの」と考えてよいわけだ。新しい発想にどこかわくわくする。なお、「り」はこの書体では線一本で同相なのだが、一般的な書き方では二本の線になるので、除外して考えている。

阿原先生はホワイトボードをいったん消して、続けた。

「じゃあ少し難しくしていきましょうか。『せ』の同相の平仮名は?」

すぐには出てこない。ええと、「ま」は違うな。「輪っか」がある。「十字」が二つあって「輪っか」のない形……。

答えは「も」と「を」だった。「を」が「せ」と仲間だなんて、何だか文字たちが新しい表情を見せ始めたみたいだ。

「『お』と同相なのは?」

輪っかが一つ、十字が二つ、離れている線が一つ。これは「は」と「む」が同相になる。

僕はふうと息を吐きながら言った。

「これは、いくらでもパズルが作れますね」

ええ、ええと阿原先生は頷く。

「一年生を相手にゼミをやる時は、ここから漢字に行くんです。図案を描いて、それと同相の漢字はどれかとかね。そして研究ではこれを曲面であったりとか、立体であったり、もっと次元の高い形で考えていくんです。これがトポロジー、位相幾何学。『お』の一部をグニャンと曲げて『む』にしていいわけですよ。線と線の繋がり具合を変えない範囲でグニャグニャしていい数学、そういう原理から始まる幾何学なんですね」

数学なのに、針金を曲げたり粘土をこねたりしているようで、図工っぽいぞ。

「数学って厳密なものかと思っていたんですが……」

ぽろりとこぼした言葉に、阿原先生は「いえいえ、厳密ですよ」と苦笑する。

「でも、何だかすごく自由な感じがしますね。この部分は自由にしてもよくて、ここからは厳密にしなくちゃいけないという、そういうところが厳密なんですかね」

「そうですね。やはり数学は数学なので、先ほどの二つのルールをきちんと式を使って定義する方法も教科書には書いてあります。ただそれは相当訓練を積まないと、意味すらわからない。『交差点とは何か』みたいなところから、全てきちんとやっていくので」

面白い考え方だなあ。

平仮名たちをトポロジーの目で眺めた途端「せ、も、を」のグループ、「お、は、む」のグループなど、全く新しい種類分けが見えてくる。この文字には輪っかがこんなところにある、こっちは十字が二つある、など、これまで意識していなかった点に注意が向く。

この感覚は身近にも溢れているかもしれない。たとえばスーパーに行けば、野菜コーナーと果物コーナーは分かれている。しかし、なぜ同じウリ科でもキュウリは野菜なのにスイカは果物なのかよくわからないし、トマトが野菜か果物か、分類としては曖昧なはずだ。でも僕たちは当たり前のように種類分けをして、買い物をしている。

いいのだ。ここでは生物学的な分類は無視していいものとして、料理での使い道だけを問題としているのだ。だからシメジなんか菌類のくせに、野菜と同相のような顔で鍋コーナーに並べられている。そうすることで、やりやすくなることがある。

「数学と一口に言っても、いろいろあるんですねえ」

袖山さんが感嘆した。

(写真:iStock.com/Solovyova

数学者と名乗った途端、三歩下がった人がいる

ふと阿原先生が言う。

「そういえば僕の師匠は、タイトルが決まったら論文は五十パーセント書けたようなもの、ということを言っていましたね」

「タイトルで、ですか? それはまたどうして」

「解けそうかどうかがわかるということなんです。囲碁や将棋にあるような、完全に読み切れているわけじゃないんだけどこれは詰むはずだとか、そういう未知なものに対する勘。それが論文を書く能力でもあるんです」

なるほど。タイトルができたということは、これはこのように解けそう、と言語化したに等しいわけだ。

「数学というのは、演繹(えんえき)的に積み上げていった結果『ここに何かがあった』という感じではないんです。まず『ここだな』という。そして『そこに行くには、こうだ』と、ピョンとアイデアだけわかっちゃう、みたいな」

阿原先生は斜め上に視線を向け、空中を眺めた。

「山を見た時、あ、ここからなら登れるなとピンとくる、そういう感覚と同じかもしれません。実際に登れるかは、やってみないとわからない部分もある。数学が美しいという感覚は、そこなんじゃないかなと最近は思っています。何かこう閃いて、わかって。それをひもといていくと非常に論理的にきちんと説明することができるという……その全体が何か気持ちいい。その感覚が、美しいという言葉になって外に出るのではと」

「じゃあ、人間誰しも持っているものでしょうか」

「うん。そんなに特別な、変わった感覚ではないと思います」

ほおと口を開いた僕に、阿原先生は言った。

「数学者って、ちょっと近寄りがたいみたいですよね。最近はそうでもなくなってきましたけど。以前『数学者です』と自己紹介したら、三歩下がった人がいましたから。本当に下がったんですよ、後ずさりってやつですね、あれは。でもそれが普通なんです」

ちょっと緊張してしまう感覚、僕もわかる。だけど今はそんな必要がないこともわかる。

数学とは案外柔らかいものなのだ。もちろん中身は厳密で、つけいる隙もない。しかしその手法も、価値も、流行も、時と共に変わり、そもそも数学とは何かすら、人によって曖昧だ。

なぜなら僕たちの日々と同じように、数学とは人の営みだからなのである。

阿原先生は、ひょいとハイプレインのペーパークラフトを持ち上げた。

「だからこんな図形を見たりして、ロマンを感じたりとか夢を広げていただけると、僕としてもシンパシーを感じるところなんです」

「やっぱり数学者も、できれば自分たちのやっていることをいろんな人に知って欲しい、というのがあるんでしょうか」

阿原先生はうん、と頷いた。

「あると思いますよ。中には無頓着な人もいるでしょうけれど。僕はどちらかと言えば、そうです」

阿原先生の幾何学のレクチャーを受けたイッセイミヤケのクリエイティブディレクター(当時)、藤原大氏はインタビューの中でこんなことを言っている。

「今回の数学の世界は絵にするのも大変な世界でした。絵にできないものがあるという事実は、デザインの仕事をしていて、ちょっとショッキングな出来事でした」

しかしそこからインスピレーションを得て行われた、2010‐11年秋冬のパリ・コレクションは、大盛況に終わった。幾何化予想を生み出した大数学者のウィリアム・サーストンも、数学のことなど何も知らない一般市民も、共に笑い、数学とファッションとの融合を楽しんだ。

知らない世界から三歩下がるのではなく、一歩ずつ進んで手を握り合った時、ちょっと楽しいことが起きるのかもしれない。

(続きは本書で!)

関連書籍

二宮敦人『世にも美しき数学者たちの日常』

百年以上解かれていない難問に人生を捧げる。「写経」のかわりに「写数式」。エレガントな解答が好き。――それはあまりに甘美な世界! 類まれなる頭脳を持った“知の探究者”たちは、数学に対して、芸術家のごとく「美」を求め、時に哲学的、時にヘンテコな名言を繰り出す。深遠かつ未知なる領域に踏み入った、知的ロマン溢れるノンフィクション。

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世にも美しき数学者たちの日常

「リーマン予想」「P≠NP予想」……。前世紀から長年解かれていない問題を解くことに、人生を賭ける人たちがいる。そして、何年も解けない問題を”作る”ことに夢中になる人たちがいる。数学者だ。
「紙とペンさえあれば、何時間でも数式を書いて過ごせる」
「楽しみは、“写経”のかわりに『写数式』」
「数学を知ることは人生を知ること」
「数学は芸術に近いかもしれない」
「数学には情緒がある」
など、類まれなる優秀な頭脳を持ちながら、時にへんてこ、時に哲学的、時に甘美な名言を次々に繰り出す数学の探究者たち――。
黒川信重先生、加藤文元先生、千葉逸人先生、津田一郎先生、渕野昌先生、阿原一志先生、高瀬正仁先生など日本を代表する数学者のほか、数学教室の先生、お笑い芸人、天才中学生まで。7人の数学者と、4人の数学マニアを通して、その未知なる世界を、愛に溢れた目線で、描き尽くす!

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二宮敦人 小説家・ノンフィクション作家

1985年東京都生まれ。一橋大学経済学部卒業。2009年に『!』(アルファポリス)でデビュー。『正三角形は存在しない 霊能数学者・鳴神佐久のノート』『一番線に謎が到着します』(幻冬舎文庫)、『文藝モンスター』(河出文庫)、『裏世界旅行』(小学館)など著書多数。『最後の医者は桜を見上げて君を想う』ほか「最後の医者」シリーズが大ヒット。初めてのノンフィクション作品『最後の秘境 東京藝大―天才たちのカオスな日常―』がベストセラーになってから、『世にも美しき数学者たちの日常』『紳士と淑女のコロシアム 「競技ダンス」へようこそ』など、ノンフィクションでも話題作を続出。

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