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2013.11.26

第2回

計算されたリスクを取ること 後編

大栗 博司

計算されたリスクを取ること 後編

人生は決断の連続。そして決断の材料になる情報は、不足し不確実なのが世の常です。でも、コイントスからがん検診、原発の安全性まで、実は自分なりに納得のできる判断をするための「方法」があります。それが……

癖のあるサイコロ

 「経験に学ぶ」ということについて、もう一つ話しておこう。

 学校で確率の勉強をするときに、よく「サイコロを振ったときに1の目が出たからといって、次回サイコロを振ったときにどの目が出るかの確率は変わらない」ということが強調される。サイコロを2回振るときに、各々の確率は独立だというわけだ。たとえば、癖のないサイコロなら、最初に1の目が出る確率は1/6。次回に1の目が出る確率も1/6だ。

 ところが、癖のないサイコロと癖のあるサイコロが混ざっていて、どちらのサイコロを振っているのか分からないときには、1回目に1の目が出るかどうかで、2回目の確率が左右される。

 サイコロに癖がなければ1の目が出る確率は1/6で、癖のあるサイコロが1の目を出す確率は1/2としよう。つまり、
\begin{align}
&P(癖なし\rightarrow 1の目)=\frac{1}{6}\nonumber \\
&P(癖あり\rightarrow 1の目)=\frac{1}{2}.\nonumber
\end{align}

 そして、癖のないサイコロと癖のあるサイコロが同じ数あって、ランダムに選んだときに、どちらを手にしたかの確率が5分5分だったとする。つまり、$$P(癖なし)=P(癖あり)=\frac{1}{2}.$$この情報をもとにして、1の目が出る確率を計算すると、
\begin{align}
&P(1の目)\nonumber \\
&=P(癖なし)P(癖なし\rightarrow 1 の目)\nonumber \\
&~~~+ P(癖あり)P(癖あり\rightarrow 1 の目)\nonumber\\
&= \frac{1}{3},\nonumber
\end{align}

となる。癖のあるサイコロが混ざっているから、1の目が出る確率は1/3になる。

 では、最初に1の目が出たとして、そのときに同じサイコロをもう一度振って、2回目も1の目が出る確率はどうだろうか。まず、最初に1の目が出たかどうかで、サイコロに癖があるかないかの確率が変わることに注意しよう。

 ベイズの定理を使うと、 \begin{align}
&P(1の目)P(1の目\rightarrow 癖なし)\nonumber\\ &=P(癖なし)P(癖なし\rightarrow 1の目),\nonumber\\
\end{align}
だから、
\begin{align}
&P(1の目\rightarrow 癖なし)=\frac{1}{4},\nonumber\\
&P(1の目\rightarrow 癖あり)=\frac{3}{4},\nonumber
\end{align}
ということになる。もともとサイコロに癖があるかないかの確率は$P(癖なし)=P(癖あり)=1/2$ だったのだけれど、最初に振ってみて1の目になったら、癖のある確率が3/4に増えるんだ。

 癖のある確率が増えるから、同じサイコロでもう一度振ったときには、1の目が出る確率も増える。計算してみると、
\begin{align} &P(1の目\rightarrow 1の目)\nonumber \\ &= P(1 の目\rightarrow 癖なし)P(癖なし\rightarrow 1の目)\nonumber\\ &~~~+P(1の目\rightarrow 癖あり)P(癖あり\rightarrow 1 の目)\nonumber\\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1}{6} + \frac{3}{4} \times \frac{1}{2}\nonumber\\ &= \frac{5}{12}.\nonumber \end{align}

最初に振ったときに1の目が出る確率は$P(1の目)=1/3=0.3$ だったけれど、1の目が出たときに、同じサイコロを振ってもう一度1の目が出る確率は $P(1の目\rightarrow 1の目)=5/12=0.4$と増えている。最初に1の目が出たことを知れば、サイコロに癖のある確率が $1/2$ から $3/4$ に変わるので、その情報を使うと、次回にも1の目が出る確率も $1/3$ から $5/12$ に修正されるんだ。

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