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2014.04.27

第12回

宇宙のかたちを測る 後編

大栗 博司

宇宙のかたちを測る 後編

デカルトの座標

 $15$世紀にグーテンベルクが活版印刷を実用化すると、ユークリッドの『原論』も活字になった。$1482$年にベニスで初版が印刷されて以来、世界中で$1,000$以上の版が出て、聖書に次ぐベストセラーだといわれている。『聖書』と『原論』が、ヨーロッパ文明を支える$2$つの柱だったことがわかる。

 ユークリッドの平面幾何に、大きな変化をもたらしたのが、$1596$年に生まれ、近代合理主義の祖ともいわれるルネ・デカルトだ。デカルトは、著書『方法序説』のなかで、真理を探究する方法として次の$4$つを掲げている:

(1) 明証的に真理であると認められるものでなければ、どんなことでも真と認めないこと。

(2) 思考の対象を、よりよく理解するために、多数の小部分に分割すること。

(3) 単純なものから複雑なものへと、順序にしたがって思考を導くこと。

(4) 完全な列挙と、広範な再検討をすること。

これは、当たり前のように見える$5$つの公理から始めて、図形の複雑な性質を導いていく『原論』の精神を反映したものだ。


* * *
 

 この『方法序説』は、「序説」と呼ばれるように、真理を探究する方法に関する書物の序文だった。デカルトは、この方法の試論のひとつとして幾何学の新しい方法を提案した。それは、平面の上の点を$2$つの実数の組$(x, y)$で表すというアイデアだ。

 平面の上に直交する$2$本の直線を引き、これを$x$軸と$y$軸と呼ぶ。平面の点の位置を、その点から$x$軸と$y$軸に下ろした垂線の位置を$x$、$y$として、この$2$つの数の組で表すのがデカルト座標だ(図$11$)。デカルト座標を使うと、平面幾何の問題を$(x, y)$についての計算問題に置き換えることができる。ユークリッドの$5$つの公理も、デカルト座標の言葉に翻訳することができる。

 たとえば【公理3】では、$2$つの点$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を与えたとき、一方を中心とし他方を通る円を描くことを求めている。円とは、ある点から同じ距離にある点の集まりのことなので、まずこの$2$点の距離を計算する。

 図$12$のように$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を結ぶ線分を対角線とする長方形を考えてみよう。ピタゴラスの定理により、対角線の長さ$r$の$2$乗は、長辺の長さの$2$乗と短辺の長さの$2$乗の和になる。つまり、$$ r = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \ . $$

【公理3】で求められている「$(x_1, y_1)$を中心とし、$(x_2, y_2)$を通る円」とは、$(x_1, y_1)$から距離$r$にある点の集まりだから、$$ (x-x_1)^2 + (y - y_1)^2=r^2 \ , $$

を満たす$(x,y)$の集まりと考えることができる。


* * *
 

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